🎴 Flashcards • 1ère 5 cartes
Probabilités Conditionnelles & Variables Aléatoires
Arbres pondérés, formule des probabilités totales, indépendance, espérance et variance.
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Carte 1 : Quelle est la définition de la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ de $B$ sachant $A$ ($P(A) > 0$) ? ▼
La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est :
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
On en déduit la formule des probabilités composées : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
On en déduit la formule des probabilités composées : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
Carte 2 : Que énonce la Formule des Probabilités Totales ? ▼
Si $(A_1, A_2, \dots, A_n)$ forme une partition de l'univers $\Omega$, alors pour tout événement $B$ :
$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$$
Cas particulier à deux événements $A$ et $\overline{A}$ :
$$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$$
$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$$
Cas particulier à deux événements $A$ et $\overline{A}$ :
$$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$$
Carte 3 : À quelle condition deux événements $A$ et $B$ sont-ils dits indépendants ? ▼
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Ce qui équivaut à $P_A(B) = P(B)$ (si $P(A) > 0$).
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Ce qui équivaut à $P_A(B) = P(B)$ (si $P(A) > 0$).
Carte 4 : Comment calculer l'Espérance $E(X)$ et la Variance $V(X)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ ? ▼
Pour une loi de probabilité donnée par les couples $(x_i, p_i)$ :
• Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot p_i$
• Variance : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 \cdot p_i - [E(X)]^2$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
• Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot p_i$
• Variance : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 \cdot p_i - [E(X)]^2$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Carte 5 : Quelles sont les propriétés de l'espérance et de la variance par transformation affine $aX + b$ ? ▼
Pour tous réels $a$ et $b$ :
• $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$ (linéarité de l'espérance)
• $V(aX + b) = a^2 \cdot V(X)$
• $\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)$
• $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$ (linéarité de l'espérance)
• $V(aX + b) = a^2 \cdot V(X)$
• $\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)$