🎴 Flashcards • 1ère 5 cartes
Fonction Exponentielle ($e^x$)
Définition, propriétés algébriques, équations, inéquations et dérivée de la fonction exp.
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Carte 1 : Comment est définie la fonction exponentielle $\exp(x) = e^x$ ? ▼
La fonction exponentielle est la unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$$f'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$
$$f'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$
Carte 2 : Quelles sont les propriétés algébriques fondamentales de la fonction exponentielle ? ▼
Pour tous réels $a$ et $b$ :
• $e^{a+b} = e^a \times e^b$
• $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
• $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
• $(e^a)^n = e^{n a}$ ($n \in \mathbb{Z}$)
• $e^{a+b} = e^a \times e^b$
• $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
• $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
• $(e^a)^n = e^{n a}$ ($n \in \mathbb{Z}$)
Carte 3 : Quelles sont les propriétés de signe et de variations de la fonction exponentielle ? ▼
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$ (stricte positivité).
• La fonction $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Conséquence : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$.
• La fonction $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Conséquence : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$.
Carte 4 : Quelle est la dérivée de la fonction composée $f(x) = e^{u(x)}$ ? ▼
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :
$$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
$$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
Carte 5 : Quelle est la limite remarquable de $\frac{e^h - 1}{h}$ quand $h \to 0$ ? ▼
Il s'agit du taux d'accroissement de la fonction exponentielle en $0$ :
$$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \exp'(0) = 1$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \exp'(0) = 1$$