🎴 Flashcards • 1ère 5 cartes
Dérivation & Tangentes
Nombre dérivé, équation de la tangente, dérivées usuelles et variations de fonctions.
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Carte 1 : Quelle est la définition du nombre dérivé $f'(a)$ en un point $a$ ? ▼
Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux d'accroissement quand $h \to 0$ :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Géométriquement, $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Géométriquement, $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
Carte 2 : Quelle est l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ? ▼
L'équation réduite de la tangente $T_a$ est :
$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
Carte 3 : Quelles sont les dérivées des fonctions usuelles $x^n$, $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{x}$ ? ▼
• $(x^n)' = n x^{n-1}$ (pour tout $n \in \mathbb{Z}^*$)
• $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ sur $]\infty ; 0[$ et $]0 ; +\infty[$
• $\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0 ; +\infty[$
• $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ sur $]\infty ; 0[$ et $]0 ; +\infty[$
• $\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0 ; +\infty[$
Carte 4 : Quelles sont les formules de dérivation du produit $(uv)'$ et du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)'$ ? ▼
Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ :
$$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$$
$$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$$
Carte 5 : Quel est le lien entre le signe de la dérivée $f'(x)$ et le sens de variation de la fonction $f$ ? ▼
Sur un intervalle $I$ :
• Si $f'(x) > 0$ (sauf en quelques points isolés), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$, alors $f$ est constante sur $I$.
• Si $f'(x) > 0$ (sauf en quelques points isolés), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$, alors $f$ est constante sur $I$.